自从莱布尼茨和牛顿发展了微积分，科学界和所有学科就不一样了。从物理学和工程学到生物学和数学，微积分作为一种寻找真理不可或缺的工具渗透到现代科学的方方面面。然而，看待这个问题有不同的方法。从物理和实践的角度来看，它与变化率的概念有关，通过用微分方程的形式写下来的定律可以应用于物理学。

从纯数学的角度来看，我们有几种看待它的方法。对一个函数求导可以看作是函数空间到另一个空间的变换。这个变换是一种d/dx的映射，具有以下两个重要性质：

这些性质统称为线性。同理，实函数f(x) = kx，其中k是实数，也满足上述的线性条件：

它也与线性代数中的线性变换有相似之处，其中研究对象是向量空间之间的线性变换，例如矩阵。矩阵也满足线性条件。第一个性质非常重要，它保留了函数空间关于加法运算的结构。这就像一本介于两个世界之间的字典。将加法结构从一个世界转换到另一个世界。这种函数称为同态。

在本文中，我们将定义另一种运算符。函数空间之间的变换，不是类似于上面的线性函数，而是类似于对数函数。我们还将推导出与上面定义的微分算子类似的各种规则，如乘积规则、链式规则等。结果证明，我们的算子也表现出同态行为，但从一个乘性函数空间到一个加性函数空间。

我所讨论的运算符叫做对数导数，由以下定义：

在使用这个运算符之前，让我们先说明它的一些好的性质。一个很自然的问题是它对常数有什么影响。显而易见：

因为它继承了正规微分算子。最重要的性质是：

你可以用定义和通常的微分规则来证明。当一个常数乘以一个函数时，当我们对它进行对数微分时这个常数就消失了。

这也意味着我们可以在操作符参数中改变函数之间减法的顺序。

现在我们来说明这个算子的链式法则。

推导过程很简单。

它很像微分算子的链式法则。我们还有幂法则：

特别地，我们有以下两个有用的公式：

在这一点上，你可能想知道这个算子的特征函数是什么。对于对数导数，结果是：

但是对于对数导数，事实证明：

对于所有常数c，使这些函数成为函数空间中的特征元素，我们定义了运算符。现在我们的工具箱里有了对数导数的一些规则，让我们使用它们。我们先求正弦函数的对数导数。利用该定义，我们很快得到：

你们可能还记得sin函数可以写成：

现在，利用上面的规则我们可以把无穷积变换成一个级数，通过对两边取对数导数，我们得到：

我们已经使用了上面定义的一些规则。分别是幂法则，乘积求和，交换减法，消失常数和链式法则。从技术上讲，我们需要一个论证来确保乘积求和法则对无穷乘积也成立。事实证明，下面这些就足够了。

我会先陈述，然后再解释。

• 乘积中的因子必须是复平面的开子集D上的全纯因子
• D上没有一个因子等于0
• 乘积局部一致收敛于函数f

如果这些条件成立，那么我们通过对两边取对数导数得到的对应级数在下面的集合上局部一致收敛。

这里的反斜杠表示集差。这是什么意思?

首先，复函数是全纯的，这意味着它是“复可微的”。这是一个比实数微分更强的要。求事实上，如果一个复函数是可微的那么它就无限次可微，这意味着它是解析的。对于一般的实际函数来说，这是不正确的。

D上的因子不等于零就意味着它没有将开集映射为零。所以非正式地说，一个全纯函数在它的定义域的任意小子集中具有全局信息。上面的恒等定理是非常重要的，它被用于证明一些解析函数有解析延拓这一事实。

如果我们回到得到的级数，如果没有π在分母上就好了，但是替换和乘法用一种更著名的形式揭示了这个恒等式，也就是：

莱昂哈德·欧拉是第一个发现这个级数的人。他还用了无穷积表示正弦函数。利用这个算子的规则，我们可以从无穷积中找到很多其他的级数。



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